从数学角度深入论证比特币分布式账本面对双花攻击的安全问题，核心是诚实节点和恶意节点在挖矿中的竞争。

撰文：邹传伟，万向区块链首席科学家

中本聪在比特币白皮书技术部分（第 6-9 页）讨论了比特币分布式账本面对双花攻击的安全问题，核心是诚实节点和恶意节点在挖矿中的竞争。这部分内容非常重要，但中本聪的表述非常简略，省去了关键论证过程。区块链行业中有专家对这部分内容做了说明，但都存在一些疏漏之处。本文在前人工作的基础上，试图给出一个严谨解析。

比特币挖矿的数学过程

比特币挖矿的本质上通过不断运行哈希计算，以找出一个符合要求的 Nonce，使其前若干位等于 0。如果将 Nonce 视为一个十六进制小数，那么其可以视为一个在 0 和 1 之间均匀分布的随机变量，合格 Nonce 需小于α（如果要求 Nonce 前β位等于 0，那么α=2^-β）。α由比特币算法根据全网算力调整。

用Η表示全网算力，含义是每秒可运行哈希计算的次数。用随机变量τ表示找到合格 Nonce 的时点，τ是概率论上的停时概念。因为不同次哈希计算的结果相互独立，所以对任意 t>0，

因此，随机变量τ的累积概率分布函数等于

(1) 表示参数为-ln(1-α)Η的指数分布。根据指数分布的性质，找到一个合格区块的平均时间为

用 T 表示平均出块时间（即 10 分钟）。那么，存在如下关系

(2) 就是比特币的难度系数调整机制。

诚实节点与恶意节点之间的挖矿竞争

假设全网算力 H 不变，诚实节点与恶意节点的算力分别为 H_g和 H_b，H=H_g+H_b。它们找到合格区块的时间分别为τ_g和τ_b。根据前文的分析，和均服从指数分布，参数分别是

诚实节点先找到合格区块的概率是

同理，恶意节点先找到合规区块的概率是

(3) 和 (4) 说明，先找到合规区块的概率与算力成正比。

恶意节点从落后追赶诚实节点的问题

假设全网算力 H、诚实节点的算力 H_g和恶意节点的算力 H_b均保持不变。假设恶意节点落后诚实节点个区块，接下来考虑恶意节点赶上诚实节点的概率。站在恶意节点的角度，引入如下计数函数

其中，-z 表示初始时恶意节点落后诚实节点 z 个区块。I_i(τ_b<τ_g) 表示第 i 个合格区块是否由恶意节点生成。若是，则 L(n) 增加 1；否则，L(n) 减少 1。换言之，L(n) 刻画了在 n 个区块后，恶意节点领先于诚实节点的区块数量（小于 0 则表示恶意节点落后于诚实节点的区块数量）。

恶意节点与诚实节点之间开展的是「最长链竞争」。用 q_z表示恶意节点赶上诚实节点的概率，数学表述是：

(6) 的含义是，恶意节点从落后 z 个区块出发，能超越诚实节点 1 个区块的概率。

考虑第 1 个区块的情况（i=1）。如果这个区块由恶意节点生成，则恶意节点领先于诚实节点的区块数量变为-z+1，此情形的概率为 P_r(τ_b<τ_g)=q；反之，这个区块由诚实节点生成，恶意节点领先于诚实节点的区块数量变为-z-1，此情形的概率为 P_r(τ_b>τ_g)=p。因此，

另外，q_-1=1。但仅凭 (7) 和这个边界条件不足以求解，需要将这个问题转换为「赌徒破产」问题（Gambler’s Ruin Problem）。

假设恶意节点在落后诚实节点 N 个区块后放弃追赶（N 是一个很大的正整数），恶意节点在超越诚实节点 1 个区块后赢得「最长链竞争」。这两种情况都对应着「最长链竞争」停止，表示成「赌徒破产」问题是：

其中， τ_c也是概率论上的停时概念，L( τ_c)=-1 表示恶意节点赢得「最长链竞争」，L( τ_c)=-N 表示恶意节点退出「最长链竞争」。此时，(6) 等价于

(7) 仍然成立，但有两个边界条件：

(7) 可以等价表述为，

也就是

迭代可知，

将上述迭代结果累加起来可得，

(12)

考虑边界条件 (10)，存在两种情况。

第一，q>p （也就是恶意节点占优）。因为 q/p>1，所以

第二，q<p （也就是诚实节点占优）。因为 q/p<1，所以

（二） p=q=0.5

在上述求解过程中，N->∞的含义是恶意节点为了赢得「最长链竞争」可以容忍任何大的成本。这当然是一个过于理想化的假设，只考虑了恶意节点从落后追赶诚实节点在技术上的可行性。实际上，恶意节点会衡量追赶的成本和收益，在很多情况下成本超过收益，说明追赶即使在技术上可行，在经济学上不可行。这会为比特币分布式账本带来安全保障。

这就对应着比特币白皮书第 6 页给出的如下公式。需要说明的是，比特币白皮书讨论的是恶意节点从落后追平诚实节点的概率，而 (15) 给出的是恶意节点至少超过诚实节点 1 个区块的概率。

分布式账本面对双花攻击的安全性

这是比特币白皮书重点讨论的问题。此问题的关键是泊松过程与指数分布之间的关系。如果从任意时点开始统计区块生成数量，由此得到的计数过程就是泊松分布：

1. 任意两个不重叠的时间段内区块生成数量是互相独立的随机变量；

2. 在任意长度为的时间段内，区块生成数量服从泊松分布

换言之，在相邻两个区块之间的时间间隔服从参数为-ln(1-α)H 的指数分布时，与其对应的计数过程服从参数为-ln(1-α)H 的泊松过程。

在双花攻击中，假设交易发起者等待了 z 个区块。这些区块由诚实节点生成，对应的时间等于

假设恶意节点在这个时间段内在私下生成区块，累计生成区块生成数量 Z 服从泊松分布，参数等于

这对应着比特币白皮书第 7 页的如下公式：

根据泊松分布的定义，

在时 0<=Z<=z，恶意节点落后的区块数为 z-Z；在 Z>=z+1 时，恶意节点已完成双花攻击。因此，恶意节点双花成功的概率等于（只讨论 q<p 的情形）